Алла Коваленко
Консультация для учителей математики 10–11 классов «Функции и их свойства в задачах с параметрами»
§ 1. Психолого-дидактический анализ
Математика входит в число обязательных учебных предметов. В качестве одного из типичных недостатков современной математической подготовки учащихся в нашей стране чаще всего называют почти полное неумение работать с заданиями. Подавляющее большинство упражнений в учебниках имеют направление на проверку умений “вычислять, упрощать, решать” и тому подобные.
Публикация «Консультация для учителей математики 10–11 классов „Функции и их свойства в задачах с параметрами“» размещена в разделах
- Математика. Конспекты уроков
- Математика. Консультации для родителей
- Старшая школа 11 класс
- Старшая школа. 10-11 класс
- Школа. Материалы для школьных педагогов
- Темочки
В связи с координальной перестройкой образования, обучение в старших классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трех типов: базового, профильного, элективного. Каждый из курсов этих типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения. При этом очевидно, что практически уровень учебных достижений учеников одного класса и одной школы различен, исключений здесь нет.
В программах по математике для неспециализированных школ отдельно темы не отводится на изучение параметра. Для обобщения некоторых разделов этим задачам отводится незначительное место.
Проанализируем школьные учебники на содержание в них темы: «Функции и их свойства в задачах с параметрами».
Никольский С. М
(базовый)-
11кл. Мордкович А. Г
(профильный)-
10кл. Мордкович А. Г
(базовый)-
10-11кл.
Материалы, предоставленные в теоретической части и виде примеров.
Определения:
-параметра
-уравнения с параметром
-система уравнений с параметром
-решить уравнение с
Параметром
-решить неравенство с параметром
Решить:
-линейное уравнение
-линейное неравенство
-уравнение степени не выше второй
-иррациональное уравнение
-уравнение степени не выше второй, корни которых удов определ
Условиям
-дробно-рациональное уравнение
-уравнение вида f(x)=a
-неравенство степени не выше второй
-логарифмическое неравенство
-систему уравнений
Исследовать свойства функции :
-обл. определения
-обл. значения
Найти значение функции :
- в точке
Материалы, предоставленные в виде задач.
Исследовать свойства функции на :
-монотонность
-наибольшее и
Наименьшее
-взаимное расположение графиков
-обл. определения
Решить:
-уравнение с модулем
-уравнение степени не выше второй
-иррациональное уравнение
-дробно-рациональное уравнение
-дробно-рациональное неравенство
к как в школьном курсе нет главы «Функции и их свойства в задачах с параметром» то на изучение этой темы можно ввести элективный курс.
Целями изучения данного курса, как для общеобразовательных классов, так и для классов с углубленным изучением математики являются следующие :
- обобщение знаний свойств функций на задачах с параметрами;
- расширение кругозора, повышение математической грамотности;
- подготовка базы для получения дальнейшего образования.
Для достижения этих целей решаются определенные задачи.
Элективный курс по теме:
«Функции и их свойства в задачах с параметрами»
Пояснительная записка
Математическое образование в системе профильного образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.
Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике, позволяющее, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой - удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.
Программа курса «Функции и их свойства в задачах с параметрами» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики, но необходимы при дальнейшем ее изучении. Рассматриваемая тема позволяет сделать обобщающий обзор изученных типов неравенств, уравнений и задач. С другой стороны, необходимость параметрического обобщения задач обусловливается следующей проблемой: некоторые задание части C единого государственного экзамена предполагают решение заданий с параметром. Итоги экзамена показали, что учащиеся плохо справлялись с этими заданиями или вообще не приступали к ним. Но существует и третья сторона – на вступительных экзаменах в большинство негуманитарных институтов, тем более в университеты и академии составляют большой процент задания с параметрами. Поэтому, пока проходит экспериментальная отработка ЕГЭ, вузы сохраняют право на свой отбор более подготовленных абитуриентов, то есть на вступительные экзамены по своим требованием. Очевидно, что материалы профильного ЕГЭ должны в достаточном объеме содержать и самые трудные разделы школьной программы по математике и что задачи с параметрами займут здесь подобающее место. Для успешного выполнения этих заданий необходимы прочные знания основных этапов работы с параметром.
Решение таких задач будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданием более высокого уровня сложности, формированию математической культуры учащихся.
Задачи : - выделить этапы знакомства с параметрами в школьном курсе
математики;
- повторить свойства функций;
- обобщить способы решения неравенств и уравнений с параметром;
- рассмотреть решение конкурсных задач с параметрами.
Тематическое планирование
№ занятия
Тема занятия
Форма занятия
Количество часов.
1
Постановка цели. Проверка владения базовыми умениями. 1
§1. Функционально - графический метод решения функций с параметрами (2ч)
2Основные приемы и метода решений задач с параметрами решаемые методом наглядно-графических интерпретаций.
Решение задач методом наглядно-графических интерпретаций.
Лекция
Практическое занятие. 1
1
§2. Свойства функций в задачах с параметрами (4ч)
4
5
6
7
8
Область определения функции
Область значения функции
Экстремальные свойства функций.
Монотонность функций.
Четность. Периодичность.
Дидактический материал для учителя
Занятие №1.
Постановка цели. Проверка владения базовыми умениями.
Цели: проверка и актуализация знаний.
План занятия:
1. Тест.
2. Актуализация знаний.
Ход занятия.
На данном занятии надо рассказать о целях и задачах изучения курса, о важности получаемых знаний для подготовки аттестации в средней школе и особенно для поступления в ВУЗы.
Проверка базовых знаний осуществляется за счет вводного тестирования.
1. Тест
Вариант 1.
1. Какая из функций, приведенных ниже, является линейной:
а) у = -2; б) у = х-2; в) у = х2-2.
2. Область определения функции у = х-4 :
а) х4; б) х4; в) х0?
3. Найдите значение функции у= -1 при х=-2 :
а)0; б)-2; в)-0,8.
4. На рисунке найдите точку K', симметричную точке K(1;-5) относительно оси
ординат.
5. На рисунке найдите точку А' симметричную точке A (2; 3) относительно начала координат.
6. Функция у = х при хО :
а) возрастает; б) убывает; в) постоянна.
7. График функции у= называется :
а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.
8. Какой из графиков параллелен прямой у=-х :
а) х-у=3; б) у = 1-х; в) 2х-3-у-1 = 0.
9. Графику какой функции принадлежит точка А(2; 4) :
а)у =-2х2; б) У = x3; в) у= ?
10. Найдите координаты точки пересечения графиков функций
у = -4х -1 и y=2х+ 5:
а(0;5); б) (l;7); в) (-1;3).
Вариант 2.
1. Какая из функций, приведенных ниже, является линейной:
а) у = +1; б) у = +1; в) у = х5+1.
2. Область определения функции у = х+3 :
а) х0; б) х-3; в) х3?
3. Найдите значение функции у= +2x при х=0. 5 :
а) 3; б) 12; в) .
4. На рисунке найдите точку M', симметричную точке M(-4;3) относительно оси
ординат.
5. На рисунке найдите точку А' симметричную точке A (2; 1) относительно оси
ординат.
6. Функция у = при хО :
а) возрастает; б) убывает; в) постоянна.
7. График функции у= 3x2 называется :
а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.
8. Какой из графиков параллелен прямой у= х :
а) х-у=-3; б) у =-2х-2; в) 2х+3у+1= 0.
9. Графику какой функции принадлежит точка M(-2;-4) :
а)у =2х2; б) У = x3; в) у= ?
10. Найдите координаты точки пересечения графиков функций
у = x+3 и y= х-6:
а(18;12); б) (-6;-12); в) (6;0).
2. Актуализация знаний.
Определение: Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у =f(х).
Переменную х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную у - зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.
Значение у, соответствующее заданному значению х, называют
значением функции.
Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Они обозначаются D(f) и E(f) соответственно.
Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.
Для закрепления учащимся предлагается ответить на вопросы.
1. Найдите область определения функции, заданной формулой :
а)У = ; б)у = 2; b) Y= 6; G) у = ;
d) y = ; e) y= 2 ; k) y= .
Задачи с параметрами нередки в школьном курсе математики. С понятием параметра вы, по существу встречались, когда изучали линейные и квадратные уравнения, когда рассматривали линейную и дробно-линейную функции, хотя сам термин «параметр» не вводили.
Так, например, задача решить (относительно x) квадратное уравнение общего вида ax2+bx+c=0 является примером задачи с тремя параметрами a, b, c. В этом случае говорят, что надо решить уравнение с параметрами a, b, c.
Задача решить (относительно x) линейное неравенство общего вида ax+b>0 является примером задачи с двумя параметрами a и b. В этом случае говорят, что надо решить неравенство с параметрами a, b.
Задача решить (относительно x и y)систему уравнений x2+y2=1
X+ y=a;
Является примером задачи с одним параметром a. В этом случае говорят, что надо решить систему уравнение с параметром a.
На наших занятиях мы рассмотрим зависимость свойств функций от параметра. Решение задач такого типа не является простым решением и требует предварительного навыка решения простых задач. Задачи с параметрами является обобщением любых математических задач.
§1. Функционально - графический метод решения функций с параметрами
Занятие №1.
Основные приемы и метода решений задач с параметрами решаемые методом наглядно-графических интерпретаций.
Цели:- рассмотреть виды семейств кривых, с помощью которых решаются задаче с параметрами;
решение типовых задач на усвоения функционально - графический метод решения функций с параметрами.
Методы обучения: лекция
Знакомство с основными приемами и методами решений задач с параметрами будем начинать с метода наглядно-графических интерпретаций.
В зависимости от того, какая роль параметру отводится в задаче (неравноправная или равноправная с переменной, можно соответственно выделить два основных графических приема:
1. построение графического образа на координатной плоскости (x,y);
2. построение графического образа на координатной плоскости (x,a);
Уравнение F(x,y,a)=0 при каждом фиксированном значении параметра a задает на плоскости XOY линию. При изменении параметра a получают множество линий, которые называются семейством линий.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся семейства линий.
1.Ax+By+a=0 (где A, B, a- произвольные числовые коэффициенты) - семейство
параллельных прямых, причем
при A=0 эти прямые параллельны оси OX,
при B=0 эти прямые параллельны оси OY,
а в остальных случаях - наклонные с угловым коэффициентом K=-A/B.
Пример: Уравнение -2x-y+a=0 задает семейство прямых с угловым коэффициентом K=-2
и пересекающих ось OY в точках (0;a).
2.A(x-a)+y-b=0 (где A, b, a- произвольные числовые коэффициенты)- семейство прямых (кроме параллельных оси OY, проходящих через одну и туже точку M(a;b)
и имеющих изменяющийся угловой коэффициент K=-A. Точка M называется центром поворота
Пример: Уравнение y-3=A(x-2) задает семейство прямых, проходящих через M(2;3)
(кроме x=2).
3. Уравнение (x-a)2+(y-b)2=n (где a, b, n- произвольные числовые коэффициенты)
при n>0 – задает семейство концентрических окружностей радиуса R=n с центром в точке C(a;b);
при n=0, это будет сама точка C;
при n<0, это есть пустое множество.
Пример: Уравнение x2+2x+y2+6y+n=0 после преобразований имеет вид (x+1)2+(y+3)2=10
тогда решаем по образцу: при 10-n>0 или n<10 задает семейство
концентрических окружностей радиуса R=10-n с центром в точке C(-1;-3)
Для вычисления соответствующего значения n надо в уравнение подставить координаты точки и вычислить значение n.
4. Уравнение (x-a(y-b)-k=0 (где a, b, k- произвольные числовые коэффициенты) при k0 задает
семейство гипербол с асимптотами x=a и y=b.
5. Уравнение y=log2(x-k) (где x, k- произвольные числовые коэффициенты) – задает семейство кривых вида указанного на рисунке.
6. Уравнение y=a=x (где a, x- произвольные числовые коэффициенты) – соответствует семейству кривых в плоскости XOY, представляющих верхнюю ветвь параболы.
Занятие №2.
Решение задач методом наглядно-графических интерпретаций.
Цели:- определять вид кривых применяемых при решении конкретной задачи;
решение типовых задач на усвоения функционально - графический метод решения функций с параметрами.
Методы обучения: письменные упражнения
Задача 1. Найти все значения параметра b, при которых уравнение log102|x|+lg(2-x)-log10 (log10 b)=0 имеет единственное решение.
Решение. Для удобства обозначим lg b=a. Запишем уравнение, равносильное исходному: lg(2|x|(2-x)= lga. Переходим к равносильной системе
2|x|(2-x)= a,
x<2,
x0.
Строим график функции y=2|x|(2-x) с областью определения x<2 и x0.
Полученный график семейство прямых y=a должно пересекать только в одной точке. На рисунке видно, что это требование выполняется лишь при a>2, то есть lgb>2, b>100.
Ответ: b>100.
Задача 2. При каком натуральном значении параметра a уравнение x3+3x2-9x-a=0 имеет ровно два корня?
Решение: Уединим параметр x3+3x2-9x=a.
Решим уравнение графически, построив графики функции y= x3+3x2-9x и y= a.
y= x3+3x2-9x.
y'=3x2+6x-9.
y'=0, если x=-3, x=1.
y(-3)=(-3)3 +3(-3)2 -9(-3)=27. y(1)=1+3-9=-5. Построим схематично график функции y=
y(1)=1+3-9=-5. Построим схематично график функции y= x3+3x2-9x.
Графиком функции y=a является прямая, параллельная оси Ox. Графики функции пересекаются в двух точках, если a=27 и a=-5.
Ответ: 27.
Задача 3. Решите неравенство x+ax+1.
Решение. Построим прямую y=x+1 и кривую y=x+a представляющую ветвь параболы. Если «полупарабола» y=x+a расположена ниже прямой, то очевидно неравенство решений не имеет (полож. 1).
Решение появиться только с момента касания (полож. 2).
значение параметра, соответствующего касанию, можно найти, потребовав от системы y2= x+ a;
y=x+1,
иметь одно решение, что равносильно для уравнения (х+1)2 = х+а иметь один корень. Отсюда получаем а = 3/4. Значит, при а<3/4 исходное неравенство решений не имеет. Заметим, что тот, кто знаком с производной, может получить этот результат иначе.
Далее, смещая «полупараболу» влево, зафиксируем последний момент, когда графики у = х+1 и у =x+a имеют две общие точки (положение III). Такое расположение обеспечивается требованием, а = 1.
Ясно, что при 3/4 а 1 отрезок [х1; х2], где х1 и х2--абсциссы точек пересечения графиков, будет решением исходного неравенства. Решив записанное выше уравнение, получим
х2 =. Следовательно, если
Когда «полупарабола» и прямая пересекаются только в одной точке (это соответствует случаю а > 1, то решением будет отрезок [-а ; х2' ], где ж2' - больший из корней х{ и х2 (положение IV).
Задача 4. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
x=a+y;
y2-x2-2x+4y+3=0, имеет решения.
Решение. Из первого уравнения системы получим у = (х-а)2 при х а. Значит это уравнение задает семейство «полупарабол» (параболы у = (х-а)2 «скользят» вер-шинами по оси абсцисс, причем мы рассматриваем только правую ветвь).
Левую часть второго уравнения системы разложим на множители. Имеем
у2-х2-2х+4у+3=(у2+4у+4)-(х2+2х+1)=(y+х+3 (у-х+1).Тогда графиком второго уравнения является объединение двух прямых у = - х-З и у=х-1. Выясним, при каких значениях параметра а семейство «полупарабол» имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Воспользуемся рисунком.
Если вершины «полупарабол» находятся правее точки А, но левее точки В (точка В
соответствует положению вершины в момент касания «полупараболы» с прямой у =
х-1, то очевидно рассматриваемые графики общих точек не имеют.
Если вершина расположена в точке А, то очевидно а =-3. Случай касания «поймаем», потребовав от системы
y=x-1;
y=(x-a)2, иметь одно решение, что в свою очередь заставляет уравнение х-1=(х-а)2иметь один корень. Отсюда легко получить а = 3/4. Таким образом, исходная система не имеет решений, если -3 < а <3/4 и соответственно имеет решения, если а - 3 или а 3/4
Ответ: а - 3 или а 3/4
Задача 5.
Найти те значения параметра a при которых число целых решений неравенства x-2-2a(x+4) не менее 1 и не более 4.
Решение: В левой части нет параметра, то решить неравенство можно графически
y=x-2-2x. y=x-2-2 =>
При x=1 1<5a;
a1/5.
При x=0 24a;
a1/2
При x=-1 53a; При x=3 57a;
a5/7.
Ответ:a принадлежит(-1/5;4/3)
2. Свойства функций в задачах с параметрами (4час).
Занятие №3.
Область определения функции -1час.
Цели:- Применять понятие области определения к решению конкретной задачи;
решение типовых задач.
Методы обучения: лекция, письменные упражнения
С каждым уравнением (неравенством, системой) связаны конструирующие их аналитические выражения. Последнее в свою очередь могут задавать функции одной или нескольких переменных. С этой точки зрения, например, уравнение f(x)=g(x) мы можем рассматривать как задачу о нахождении значения аргумента x, при которых равны значения функции f и g. Такие, казалось бы, очевидные рассуждения нередко дают возможность найти результативный путь решения многих задач. Кратко основную идею можно сформировать так: ключ к решению задачи - свойство функций.
Далее при решении задач мы будем отдавать предпочтение функциональному подходу. Почему так - рассмотрим простой пример.
Требуется решить неравенство x>2.
С одной стороны, используя свойства числовых неравенств (возведение обеих частей в четную степень, можно показать, что неравенство x>2 равносильно x>4.
C другой стороны, функциональный подход позволяет рассуждать так: перепишем исходное неравенство в виде x >4. Далее, учитывая характер монотонности функции y=x,получаем x>4.
Задача 1. Найдите все значения я, при которых область определения функции
содержит ровно одно целое число.
План решения:
1- преобразовать выражение в скобках, разложить его на множители, выяснить, когда полученное произведение неотрицательно;
2- выразить область определения D(y) через параметр;
3- произвести отбор нужных значений параметра.
Основной момент решения состоит в проведении тождественных преобразований показательных, степенных и алгебраических выражений. Без правильного выполнения этого шага невозможно дальнейшее решение задания.
Решение:
1) Проведем тождественные преобразования в основании степени. функции. По
определению степени с показателем 0,5 число х лежит в D(y) только если (ax-a4(x-a)0. Так как по условию х стоит в основании логарифма, а а — под знаком логарифма, то х>0, х1,a>0. Рассмотрим три случая: а = 1, 0<а<1 и а>1.
2) Если a=1, то (ax — a4(x-a)0 при всех натуральных х, то есть а=1 не удовлетворяет условию задачи.
3) Пусть 0<а< 1. Тогда показательная функция с основанием, а убывает. Если х4, то аха4 и ах-а40. Значит, a-x0 и хa, так как степенная функция z = f(x) возрастает.
Поэтому то есть х принадлежит (0; а]. Если х4, то получаем,то есть х принадлежит [4; + оо). Значит, D(y)= (0; a] U [4; +оо) и содержит все целые х4, т. е. 0 < а < 1 не удовлетворяют условию задачи.
4) Пусть а > 1. Так как показательная функция с основанием а возрастает и степенная фунция z = x возрастает, то получаем, что или, или. Значит, D(y)= есть отрезок с концами в точках a и 4 .
5) Если а5, то в D(y)= [4; а] есть, как минимум, два целых числа: 4 и 5. Если 1<a3, то в D(y)= [a; 4] есть, как минимум, два целых числа: 3 и 4. Если же 3<a<5, то D(y) содержит единственное целое число 4.
Ответ: (3; 5).
Задача 2 на проверку знаний свойств логарифмической, показательной и линейной функций.
Найти все значения параметра a, при которых в области определения функции y=log(aax-2-ax) лежат числа 13, 15, 17, но не лежат числа 3, 5, 7.
Решение:
1) По определению логарифма x D(y, в том и только том случае, если aax-2 >ax. При a=1 область определения пуста.
Рассмотрим два случая.
1. 0<a<1. Тогда показательная функция с основанием a убывает и поэтому aax-2 >ax,
ax-2<x, (1-a)x>-2. Так как 0<a<1, то 1-a>0. Значит, D(y)=(- ;+). Но в этом промежутке лежат все положительные числа и, в частности, числа 3, 5, 7. Поэтому такие a не удовлетворяют условию.
2. a>1. Тогда показательная функция с основанием a возрастает и поэтому aax-2 >ax, ax-2>x, (a-1)x>2. Так как a>1, то a-1>0. Значит, D(y)=(). В этом промежутке лежат числа 13, 15, 17, только тогда, когда его левый конец меньше 13. А для того, чтобы в нем не было чисел 3, 5, 7 нужно, чтобы левый конец был не меньше 7.
2) Получаем двойное неравенство на параметр a>; 1:, 7(a-1)2<13(a-1,.
Ответ: ()
Задача 3. Найдите все положительные, не равные 1 значения a, при которых область
определения функции y=(ax a+a3+0,5logax-x 0,5+xlogxa-a3,5)0.5 не содержит
двузначных натуральных чисел.
Решение. :1) Проведем равносильные преобразования в основании степени
ax a+a3+0,5logax-x 0,5+xlogxa-a3,5 =axa+xa3-xax – a3 a=( ax-a3 (a-x).
По определению степени с показателем 0,5 число x лежит в области определения D(y, только если произведение двух сомножителей (ax-a3 (a-x) неположительное. По условию a>0,a1, x>0,x1. Рассмотрим два случая:0<a<1 и a>1.
2) Пусть 0<a<1. Тогда так как показательная функция с основанием a убывает, а степенная функция z=x возрастает. Значит, D(y)=(0;a]U[3;+00) и содержит все двузначные числа, то есть 0<a<1 не удовлетворяет условию задачи.
Пусть a>1. Так как показательная функция с основанием a>;1 возрастает и степенная функция z=x возрастает, то тогда Значит D(y) есть отрезок с концами в точках a и 3.
4) Если a10, то в D(y)=[3;a] есть двузначное число, например 10.
Если a принадлежит (1;10, то отрезок с концами a и 3 расположен левее 10 и не содержит двузначных чисел.
1 2 3 10 11
Ответ:(1;10).
Задача 4. В области определения функции у =(a a –) взяли все целые
положительные числа и сложили их. Найдите все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше10.
Решение. 1) Графиком дробно-линейной функции z= или z=5- x+2 является гипербола. По условию Х > 0. При неограниченном возрастании Х дробь
монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 0, а значение функции z возрастает, и приближаются к 5. Кроме того, z(0)=1.
2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства аa > а х+2.
При а = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция y нигде не определена.
При 0 < а < 1 показательная функция с основанием а убывает и неравенство
равносильно неравенству,. Так как х > 0, то z(x) > z (0) = 1. Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства,. Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.
4) При а > 1 показательная функция с основанием a возрастает и неравенство
равносильно неравенству. Если, а 5, то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 < а < 5, то множество его положительных решений — это интервал (0;х0, где а = z{x0, см. рис.
5) Целые числа расположены в этом интервале подряд, начиная с первого. Вычислим
суммы последовательно идущих натуральных чисел, начиная с 1: 1; 1 + 2 = 3; 1 + 2
+ 3 = 6; 1 + 2 + 3 + 4 = 10;. Поэтому указанная сумма будет больше 5 и меньше 10,
только если число 3 лежит в интервале (0; х0, а число 4 не лежит в этом интервале.
Значит, 3 < х0 < 4. Так как возрастает на [3; 4], то z(3) < z(х0) z(4).
Поэтому, то есть (].
Ответ: (3,4; ].
Задача 5. Из области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найдите все значения, при которых такая сумма будет больше 7, но меньше11.
Решение:
1).Графиком дробно-линийной функции или является гипирбола
По условию x>0. При неограниченном возрастании x дробь монотонно и приближается к нулю, а значение функции z возрастании и приближается 7. Кроме того, z(0)=1.
2). По определению логарифма область определения D(y) состоит из решений неравенства.
При a=1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция y нигде не определена.
При 0<a<1 показательная функция с основанием a убывает и неравенство равносильно неравенству. Так как x>0, то z(x)>z(0)=1. Значит, каждое положительное x является решением неравенства. Поэтому для таких 0<a<1 указанную в условии сумму нельзя найти.
При a>1 показательная функция с основанием a возрастает и неравенство равносильно.
Если a7, то любое положительное число является его решением и указанную в условии сумму нельзя найти.
Если 1<a<7, то множество положительных решений неравенства -это интервал (0;x0, где a=z(x0).
3). Целые числа расположены в этом интервале начиная с 1. Посчитаем суммы последовательно идущих натуральных чисел начиная с 1: 1; 1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10; 1+2+3+4+5=15;…. Поэтому указанная сумма будет больше 7 и меньше 11, только если число 4 лежит в интервале (0;x0, а число 5 не лежит в этом интервале. Значит, 4<x05. Так как возрастает на [4;5],то z(4)<z(x0) z(5).
Так как a=z(x0, то, то есть.
Ответ:
Задача 6. Найти все натуральные значения параметра n>;1, при которых отрезок длины n является область определения функции y=
Решение: 1) n-нечетное, то D(y)=R. Следовательно, искомые значения n нужно искать среди натуральных чисел. Найдем D(y) для n четных. (9-3x-3n)n+7•(2x+n)5n-30.
Исходя из того что n-нечетное, то n+7 и 5n -3-числа нечетные и поэтому последнее неравенство равносильно такому: (9-3x-3n)•(2x+n)0.
Решим его относительно x. (3x-(9-3n(2x+n)0, (x-(3-n(x+)0.
Решением этого неравенства будет промежуток 3-n x-n/2 или промежуток – x3-n (при
– =3-n получаем одно и тоже число). При двух условиях длина этого промежутка равна:
3-n-(-)= (3-). По условию, эта длина должна быть равна n.3- =n, 3- =+-n, 3= или 3=-, то есть n=2 или n=-6. Но n-натуральное, следовательно, n=2.
Ответ:2.
