Анастасия Кириченко
Урок геометрии в 10 классе по теме «Некоторые сведения из планиметрии. Угол между касательной и хордой»
Урок №1. Некоторые сведения из планиметрии.
(Угол между касательной и хордой.)
Цели:
• Образовательные: вспомнить основные понятия : окружность, полуокружность, радиус, диаметр, хорда, касательная, секущая центральные и вписанные углы; ввести понятия угла между касательной и хордой; формировать навык чтения чертежей.
Публикация «Урок геометрии в 10 классе по теме „Некоторые сведения из планиметрии, Угол между касательной и хордой“» размещена в разделах
- Геометрические фигуры и формы
- Математика. Конспекты уроков
- Старшая школа 10 класс
- Старшая школа. 10-11 класс
- Школа. Материалы для школьных педагогов
- Темочки
• Развивающие: развить воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, математическую речь, память, внимание, умение делать выводы и обобщение.
• Воспитательные: воспитать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, формировать эмоциональную культуру и культуру общения.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Фронтальная работа. Вспомнить с учениками основные понятия.
1) Определение окружности и ее элементов. Взаимное расположение прямой и окружности.
О
Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек, равноудаленных от данной точки – центра окружности (рисунок 1). Расстояние от точки окружности до ее центра называется радиусом окружности. Также радиусом окружности называют отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром. Окружность с центром в точке O радиусом R обозначается (O; R).
Хордой окружности называется отрезок, соединяющий любые две ее точки.
Диаметром окружности называется хорда окружности, содержащая ее центр.
Замечание 1: Длина диаметра равна двум радиусам окружности.
Дугой окружности называют каждую из двух ее частей, на которые она разбивается любыми двумя точками. При этом говорят, что хорда с концами в этих точках стягивает соответствующие дуги. Дуга AB обозначается.
Замечание 2: Всякая хорда окружности стягивает две дуги, которые называют дополнительными.
Дуга, стягиваемая диаметром окружности, называется полуокружностью.
Прямая и окружность могут иметь 0, 1 или 2 общие точки (рисунок 1, что определяется расстоянием от центра окружности до прямой. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая пересекает окружность в двух точках; если расстояние больше радиуса, то прямая и окружность не имеют общих точек; наконец, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют единственную общую точку.
Прямая, пересекающая окружность в двух точках, называется секущей к окружности. Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, называется касательной к окружности; при этом общую точку прямой и окружности называют точкой касания.
Свойство касательной к окружности : Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (на рисунке 2 прямая l касается окружности (O; R) в точке K, OK l).
Справедлива также обратная теорема – признак касательной к окружности : Если прямая имеет общую точку с окружностью и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она не имеет других общих точек с окружностью, то есть является касательной к ней.
Рассмотрим свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки: Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
XA = XB; AXO = BXO.
2) Центральные и вписанные углы:
Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.
Градусная мера центрального угла равна градусной мере соответствующей дуги окружности:
< AOB= AB.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:
<ACB=12AB.
3. Изучение нового материала.
Угол между касательной и хордой.
Теорема об угле между касательной и хордой : Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними
Доказательство
АВ – касательная, СА– хорда. Рассмотрим О (центр окружности) и проведем радиусы ОА и ОС, тогда треугольник – равнобедренный. Пусть <ВАС=. По теореме о касательной и радиусе <;ОАВ=90°, тогда, а значит, .
Осталось заметить, что а значит, ,чтд.
4. Решение задач.
1. Хорда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Решение. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними. Поэтому он равен 46.
Ответ: 46.
2. Хорда AB стягивает дугу окружности в 116°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой : <АВС= АВ/2=116°/2=58°
Ответ: 58.
3. Через концы A, B дуги окружности в 62° проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Угол между касательной и хордой равен половине заключенной между ними дуги. В треугольнике ABC :
Ответ: 118.
4. Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3:5, проведена касательная. Найдите острый угол между хордой и касательной.
Решение: 3х+5х=360°
Х=45°
3х=3*45=135°
135°/2=67,5°
Ответ: 67,5°.
5. C — точка на продолжении диаметра AB, CD — касательная, угол ADC равен 70°. Найдите угловую величину дуги BD.
Решение. Дуга АD=70°*2=140°. Дуга BD= дуга АВ-дуга AD=180°-140°=40°
Ответ:40°
5. Подведение итогов.
Домашнее задание.
П. 85, Задачи:
1. Хорда AB стягивает дугу окружности в 60°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
2. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найти угол между ними.
3. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точке В и С. Найти ВС, если угол ОАВ равен 30°, АВ=5см.
