Марина Краснобаева
Методы решения логических задач в начальной школе
Марина Анатольевна Краснобаева,
учитель начальных классов
Коммунальное государственное учреждение «Школа – лицей №1»
Казахстан, Риддер
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Публикация «Методы решения логических задач в начальной школе» размещена в разделах
- Логические задачи для дошкольников
- Логическое мышление
- Начальная школа. 1-4 классы
- Школа. Материалы для школьных педагогов
- Темочки
В статье я предлагаю рассмотреть различные способы решения логических задач. Я предлагаю несколько разнообразных приемов, каждый из них имеет свою область применения. Подробное знакомство с ними позволит сделать выбор, в каких случаях удобнее использовать тот или другой метод. Этот материал поможет учителям начальных классов в работе над развитием ранней детской одарённости, при подготовке учащихся к олимпиадам различного уровня по математике и логике.
Ключевые слова: [функциональная грамотность, одарённость, метод (способ, приём, метод таблиц, метод кругов Эйлера, метод блок-схем]
Функциональная грамотность как результат обучения формируется посредством каждого школьного предмета. Инструментарием развития функциональной грамотности школьников, а также проверки их сформированности являются задания творческого характера (задания исследовательского, занимательного характера, задания с экономическим, историческим содержанием, практикоориентированные задания и др.) [1, стр. 4].
Считаю необходимым, уже в начальной школе выявлять и развивать детей, которые не довольствуются только учебником и полученной информацией, а находятся в постоянном поиске, развивая свой интеллект в самостоятельной творческой деятельности. Проблема развития ранней детской одарённости в настоящее время становится всё более актуальной. Это обусловлено тем, что во всех нормативных и стратегических документах развития образования в РК стоит цель - воспитание активной, конкурентно способной личности.
На уроках математики, при подготовке учеников к олимпиадам, на занятиях кружка «Эрудит» я знакомлю учащихся с общими способами (методами) решения однотипных логических задач? Метод – способ теоретического исследования или практического осуществления чего-нибудь. [2, стр. 309]. Рассмотрим некоторые из них.
Я изучила и использую несколько различных приёмов и методов решения логических задач [3] :
o Метод рассуждений;
o Метод подбора : «Угадывание», «Полный подбор»;
o Метод предположений (по избытку, по недостатку);
o Метод таблиц;
o Метод блок-схем;
o Метод кругов Эйлера.
Остановлюсь отдельно на каждом из выделенных методов, иллюстрируя их примерами решения конкретных задач
Метод первый : Метод рассуждений
Способ рассуждений - самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи. Познакомиться с этим методом можно на следующем примере.
Этим способом обычно решают несложные логические задачи.
Задача 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
Решение. Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.
Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.
Метод второй : Метод подбора : «Угадывание», «Полный подбор».
Задача 2. В клетке находятся фазаны и кролики. У всех животных 6 голов и 20 ног. Сколько в клетке кроликов и сколько фазанов? [4, стр. 24]
• «Угадывание». Возможно "угадать", что кроликов 4, а фазанов 2.
Проверяем: 1) голов 4+2=6, 2) ног 4*4+2*2=20.
Рационально ли это решение? Всегда ли удобен это способ?
• Полный перебор. Основываемся на том, что в любом случае животных не больше и не меньше, чем число голов, а именно 6. Затем подсчитывается число ног (табл. 1)
Таблица 1 – метод полного перебора
Количество Всего
кроликов фазанов голов ног
1 5 6 4+10=14
2 4 6 8+8=16
3 3 6 12+6=18
4 2 6 16+4=20
5 1 6 20+2=22
Все случаи перебрали! Отсюда и название: "полный перебор".
Метод третий : Метод предположений (по избытку, по недостатку).
Это основной способ решения задач такого типа, так как он позволяет решить задачу с большими числами, где первые два способа будут очень трудоёмкими.
Метод предположения по избытку.
Предположим, что в клетке только кролики, тогда у них 4*6=24 ноги, т. е. 4 ноги "лишние". Эти ноги принадлежат фазанам. У фазана 2 ноги, значит 4:2=2 фазана в клетке. Кроликов 6-2=4.
Метод предположения по недостатку.
Предположим, что в клетке были только фазаны, тогда у них 6*2=12 ног, т. е. не хватает 8 ног. Они-то и принадлежат кроликам (по "лишней" паре по сравнению с фазанами). Значит всего 8:2=4 кролика и 6-4=2 фазана.
Вывод: Наиболее эффективен метод предположения по избытку или недостатку, так как он позволяет работать с большими числами при решении подобного типа задач.
Метод четвёртый : Метод таблиц
Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи. Приглашаю познакомиться с примером решения конкретной задачи методом таблиц.
Задача 3. Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?
Решение. Составим таблицу, в столбцах которой отметим возможные цвета рубашек и туфель клоунов (буквами К, З и С обозначены красный, зеленый и синий цвета). Будем заполнять таблицу, используя условия задачи. Туфли Бама зеленые, а рубашка не является зеленой. Ставим знак + в клетку 2-й строки и 5-го столбца, и знак - в клетку 2-й строки и 2-го столбца. Следовательно, у Бима и Бома туфли уже не могут быть зелеными, так же как не могут быть туфли Бама синими или красными. Отметим все это в таблице (2)
Таблица 2 – метод таблиц Таблица 3 – метод таблиц
Рубашки Туфли
Бим + - -
Бам - - + -
Бом - - - +
К З С К З С
Рубашки Туфли
Бим + - - + - -
Бам - - + - + -
Бом - + - - - +
К З С К З С
Далее, туфли и рубашка Бома не являются красными, отметим соответствующие ячейки таблицы знаком –. Из таблицы, заполненной на этом этапе, видим, что красные туфли могут быть только у Бима, а, следовательно, туфли Бома - синие. Правая часть таблицы заполнена, мы установили цвета обуви клоунов (табл. 2). Цвет рубашки Бима совпадает с цветом его туфель и является красным. Теперь легко устанавливается владелец зеленой рубашки - Бом. Бам, в таком случае, одет в рубашку синего цвета.
Мы полностью заполнили таблицу, в которой однозначно устанавли-ваются цвета туфель и рубашек клоунов (см. табл. 3) : Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях синего цвета.
Метод пятый : Метод блок-схем
Рассмотрим еще один тип логических задач. Это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости. Простейший прием решения задачи этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач.
Более систематический подход к решению задач "на переливание" заключается в использовании блок-схем. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи. Для этого достаточно отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы. При этом обычно заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.
Рассмотрим пример задачи на переливание.
Задача 4. Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.
Решение. Перечислим все возможные операции, которые могут быть использованы нами, и введем для них следующие сокращенные обозначения: НБ — наполнить больший сосуд водой из-под крана; НМ — наполнить меньший сосуд водой из-под крана; ОБ — опорожнить больший сосуд, вылив воду в раковину; ОМ — опорожнить меньший сосуд, вылив воду в раковину; БМ — перелить из большего в меньший, пока больший сосуд не опустеет или меньший сосуд не наполнится; МБ — перелить из меньшего в больший, пока меньший сосуд не опустеет или больший сосуд не наполнится. Выделим среди перечисленных команд только три: НБ, БМ, ОМ. Кроме этих трех команд рассмотрим еще две вспомогательные команды: Б = 0? — посмотреть, пуст ли больший сосуд; М = З? — посмотреть, наполнен ли малый сосуд.
Рисунок 1 – блок - схема
В зависимости от результатов этого осмотра мы переходим к выполнению следующей команды по одному из двух ключей - "да" или "нет". Такие команды в программировании принято называть командами "условного перехода" и изображать в блок-схемах в виде ромбика с двумя ключами-выходами.
Договоримся теперь о последовательности выполнения выделенных команд. После БМ будем выполнять ОМ всякий раз, как меньший сосуд оказывается наполненным, и НБ всякий раз, как больший сосуд будет опорожнен. Последовательность команд изобразим в виде блок-схемы (Рис. 1). Начнем выполнение программы. Будем фиксировать, как меняется количество воды в сосудах, если действовать по приведенной схеме. Результаты оформим в виде таблицы (табл. 4).
Таблица 4 - результаты переливаний фиксируем в таблице
Б 0 5 2 2 0 5 4 4 1 1 0 5 3 3 0 0
М 0 0 3 0 2 2 3 0 3 0 1 1 3 0 3 0
Дальше эта последовательность будет полностью повторяться. Из таблицы видим, что количество воды в обоих сосудах вместе образует следующую последовательность: 0, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0 и т. д. Таким образом, действуя по приведенной схеме, можно отмерить любое количество литров от 1 до 7. Чтобы отмерить еще и 8 литров, надо наполнить оба сосуда.
Метод шестой : Метод кругов Эйлера.
Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. А впервые Эйлер их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, и они получили название «круги Эйлера». Позднее аналогичный прием использовал ученый Венн, и приёмы Венна назвали «диаграммы Венна» [5, стр. 8].
Задача 5. Все мои друзья занимаются каким-нибудь видом спорта. 16 из них увлекаются футболом, а 12 — баскетболом. И только двое увлекаются и тем и другим видом спорта. Угадайте, сколько у меня друзей? [6, стр. 112]
Рисунок 2 – круги Эйлера
Решение : Обратимся к кругам Эйлера:
Изобразим два множества (рис. 2). В одном я буду фиксировать друзей, которые увлекаются футболом, а в другом — баскетболом. Поскольку некоторые из моих друзей увлекаются и тем и другим видом спорта, то круги нарисую так, чтобы у них была общая часть (пересечение). В этой общей части ставим цифру 2. В оставшейся части «футболистов» круга ставим цифру 14 (16 2= 14). В свободной части «баскетболистов» круга ставим цифру10 (12 2 = 10). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 14 + 2 + 10 = 26 друзей. Ответ: 26 друзей.
В заключении хочется сказать, что решать логические задачи очень увлекательно! Решение любой математической задачи состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими объектами. Рене Декарт сказал: «Каждая задача, которую я решал, становилась правилом, служившим впоследствии для решения других задач».
Библиографические ссылки
1. Об особенностях преподавания основ наук в общеобразовательных организациях (в том числе, реализующих инклюзивное образование) Республики Казахстан в 2014-2015 учебном году. Инструктивно-методическое письмо. – Астана: Национальная академия образования им. И. Алтынсарина, 2014. – 181 с.
2. С. И. Ожегов. Словарь русского языка. – Москва: Стереотип, 1984.–816с.
3. https://wadscol.narod.ru/logika.htm. Способы решения логических задач.
4. Математика в школе №3.- М. : Школа-Пресс, 1994.-80 с.
5. Легенды истории математики. «Именем Эйлера». Математика, №6/2007. - 16с.
6. Пойа Д. Как решать задачу. – Львов: Квантор, 1991.-215 с.
7. Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка. – М. : Просвещение, 1988.-160 с.
