Нина Шилова
Презентация «Теорема Виета. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета»
Презентация «Теорема Виета. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета»
Презентация «Теорема Виета. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета» включает в себя повторение пройденного материала по решению квадратных уравнений нахождением дискриминанта и использованием формулы корней квадратного уравнения, после выясняется суть теоремы Виета, и она применяется для закрепления нового - нахождения корней приведенного квадратного уравнения.
1 слайд «Теорема Виета. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета»
2 слайд
I. Повторение пройденного материала.
Публикация «Презентация „Теорема Виета, Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета“» размещена в разделах
1. Дать определение квадратного уравнения.
2. Назвать виды квадратных уравнений.
3. Каков алгоритм решения квадратного уравнения по формуле.
3 слайд
Проверьте себя
1. Квадратным уравнением называется уравнение вида: ах2 +bx + c=0, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, причем а 0.
а – первый коэффициент,
b – второй коэффициент,
с – свободный член.
Квадратные уравнения бывают полные (произвольные и приведенные квадратные уравнения) и неполные.
Алгоритм решения квадратного уравнения по формуле:
1. Вычислить значение дискриминанта по формуле: D = b2 – 4ac.
2. Если D 0, то x=(-b±D)/2a, т. е. x= (-b±(b^2-4ac)/2a.
3. Если D < 0, то корней нет.
4 слайд
Выполнить задания:
1) Назвать корни следующих уравнений:
1. х2 = 36;
2. х2+5х = 0;
3. х2 – 81 = 0;
4. х2+9 = 0;
5. 8х2 = 0.
5 слайд
Проверьте себя (Ответы):
х1 = 6; х2 = - 6 (х2 = 36)
х1 = 0; х2 = - 5 (х2+5х = 0)
х 1= 9; х 2= - 9 (х2 – 81 = 0)
Нет корней (х2+9 = 0)
х = 0 (8х2 = 0)
6 слайд
II. Изучение нового материала
Выполнить задания
Назвать коэффициенты квадратных уравнений
1. х2 + 4х - 3 = 0
2. 3 х2 + 2х = 5
3. 6 - 3 х2 = 8х
4. 4 + х - х2 = 0
7 слайд
Проверьте себя (Ответы):
1. а = 1; b= 4; c = - 3 (х2 + 4х - 3 = 0)
2. а = 3; b= 2; c = - 5 (3 х2 + 2х = 5)
3. а = - 3; b= - 8; c = 6 (6 - 3 х2 = 8х)
4. а = - 1; b = 1; c = 4 (4 + х - х2 = 0)
8 слайд
Выполнить задания
3) Решить приведенные квадратные уравнения:
1. х2 - 6х + 8 = 0
2. х2 – 2х -15 = 0
3. х2 -10х – 39 = 0
9 слайд
Проверьте себя (Ответы):
1. х1 = 2; х2 = 4 1. (х2 - 6х + 8 = 0)
2. х1 = - 3; х2 = 5 (х2 – 2х -15 = 0)
3. х 1= -3; х 2= 13 (х2 -10х – 39 = 0)
10 слайд
Выполнить задания
Найдите сумму и произведение полученных корней приведенных квадратных уравнений
1. х1 + х2 = 2 + 4 = 6
х1. х2 = 2 • 4 = 8
2. х1 + х2 = -3 + 5 = 2
х1 • х2 = -3 • 5 = -15
3. х1 + х2 = -3 + 13 = 10
х1 • х2 = -3 • 13 = -39
Видим, что сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
11 слайд
Теорема Виета:
Сумма корней приведённого квадратного уравнения х2 + pх + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену : х1 + х2 = -p и х1 • х2 = q
12 слайд
Франсуа Виет
Французский математик Франсуа Виет (1540-1603), разработал основы элементарной алгебры, ввёл систему алгебраических символов, в т. ч. буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях, что существенно развило теорию уравнений. Возможность записывать алгебраические выражения в виде формул позволила Виету изучать не числа, а действия над ними. А исследование зависимости между корнями и коэффициентами квадратног уравнения позволило сделать выводы о корнях квадратного уравнения, которые он сформулировал в виде теоремы, доказав её. За вклад в развитие науки Виета называют «отцом современной алгебры».
13 слайд
Теорема, обратная теореме Виета:
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:
Если числа m и n таковы, что их сумма равна – p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + pх + q = 0.
Например:
Если числа m = 7 и n = 2 таковы, что
m + n = 4 и m • n = 4, то числа m и n
являются корнями приведенного квадратного уравнения х2 - 4х + 4 = 0.
14 слайд
III. Закрепление нового материала
Выполнить задания
Составьте приведенное квадратное уравнение, используя теорему Виета, если х1 и х2 - корни этого уравнения:
1) х1 = 4; х2 = - 2,
По теореме Виета:
х1 + х2 = 4 + (-2) = 4 – 2 = 2
х1 • х2 = 4 • (-2) = - 8
Следовательно, х2 - 2х - 8 = 0 - искомое уравнение.
2) х1 = -3; х2 = -5,
По теореме Виета:
х1 + х2 = (-3) + (-5) = - 3 – 5 = - 8
х1 • х2 = (-3)• (-5) = 15
Следовательно, х2 + 8х + 15 = 0 - искомое уравнение.
3) х1 = 6; х2 = 3,
По теореме Виета:
х1 + х2 = 6 + 3 = 9
х1 • х2 = 6 • 3 = 18
Следовательно, х2 - 9х + 18 = 0 - искомое уравнение.
15 слайд
Выполнить задания
Решить уравнения (самостоятельно):
1) х2 - х - 20 = 0
2) х2 - 3х + 2= 0
3) х2 + 7х - 30 = 0
16 слайд
Проверьте себя
Проверьте правильность решения уравнений:
1) х2 - х - 20 = 0
х1 + х2 = 1 и х1 • х2 = -20
Легко догадаться, что корни этого уравнения такие: х1 = 5; х2 = - 4,
2) х2 - 3х + 2= 0
х1 + х2 = 3 и х1 • х2 = 2
Легко догадаться, что корни этого уравнения такие: х1 = 2; х2 = 1,
3) х2 + 7х - 30 = 0
х1 + х2 = - 7 и х1 • х2 = - 30,
Легко догадаться, что корни этого уравнения такие: х1 = -10; х2 = 3,
17 слайд
Решение любого квадратного уравнения с помощью теоремы Виета
Квадратное уравнение ax2+ bx + c = 0 легко можно представить в виде приведенного квадратного уравнения делением каждого члена уравнения на первый коэффициент а (а 0):
х2+ b/a • х + c/a = 0, то согласно теореме Виета для проведенного квадратного уравнения получим: х1 + х2 = - b/a и х1 • х2 = c/a, где х1 и х2 – корни уравнения.
18 слайд
Выполнить задания
. 1 Составьте квадратное уравнение, используя теорему Виета, если х1 и х2 - корни этого уравнения:
1) х1 = 3; х2 = - 1,
По теореме Виета:
х1 + х2 = 3 + (-1) = 3 – 1 = 2
х1 • х2 = 3 • (-1) = - 3
Следовательно, х2 - 2х - 3 = 0
Умножая каждый член приведенного квадратного уравнения на любое рациональное число, получим квадратное уравнение с указанными выше корням:
2х2 - 4х - 6= 0
5х2 - 10х - 15 = 0 и т. д.
Все эти квадратные уравнения имеют указанные в условии корни.
Слайд 19
Выполнить задания
2. Чему равна сумма и произведение корней квадратного уравнения:
1) 3х2 + 9х - 30= 0
Приведенное квадратное уравнение получим, разделив каждый член уравнения на первый коэффициент: х2 + 3х – 10 = 0
По теореме Виета:
х1 + х2 = - 3;
х1 • х2 = -10,
(Легко догадаться, что корни этого уравнения такие: х1 = - 5; х2 = 2,
2) 2х2 - 21 х + 10= 0
Приведенное квадратное уравнение получим, разделив каждый член уравнения на первый коэффициент: х2 - 10,5 х + 5 = 0,
По теореме Виета:
х1 + х2 = 10,5
х1 • х2 = 5
(Легко догадаться, что корни этого уравнения такие: х1 = 10; х2 = 0,5)
20 слайд
Выполнить задания
х2 + 5х - 6 = 0 (-6, 1)
х2 + 5х + 6= 0 (-3, -2)
х2 - х - 6 = 0 (3,- 2)
х2 - 8х + 12 = 0 (6, 2)
х2 - 11х - 12 = 0 (12, -1)
21 слайд
Заключение
При решении квадратных уравнений необходимо учитывать, что, прежде чем решать их традиционным способом - нахождением дискриминанта, необходимо постараться применить теорему Виета для нахождения его корней.
