Елена Куршева
Сценарий турнира по решению геометрических задач «Криминальная геометрия, или Дело принципа»
Криминальная геометрия, или Дело принципа.
(Использован материал из журнала «Квант» «Методическое пособие в одном акте» Д. В. ФОМИН)
Ведущий: Добрый день, дорогие ребята. Сегодня Вы станете активными слушателями математического кружка. По окончании работы которого Вам необходимо назвать принципы решения многих задач и не только геометрических. Итак, заседание математического клуба «Криминальная геометрия или Дело принципа» происходит на Свердлова, 8 МОУ СОШ № 125.
Публикация «Сценарий турнира по решению геометрических задач „Криминальная геометрия, или Дело принципа“» размещена в разделах
- Геометрические фигуры и формы
- Геометрические фигуры. Сценарии развлечений
- Задачи. Составление и решение задач, ФЭМП
- Сценарии праздников. Развлечения, досуги, утренники
- Темочки
На сцене темно. Тихо звучит мелодия (см. заставку). Зажигается свет. Гостиная в доме 8 на Свердлова, МОУ СОШ № 125. Степан сидит, просматривая вечернюю газету. Входит Андрей.
Степан. Здравствуйте, друг мой. Я вижу, вы решили на время забыть о медицине и заняться геометрией.
Андрей. Но как. ?
Степан. У вас из кармана торчит номер вчерашней «Кванта» с конкурсом геометрических задач. Сразу видно, что вы потратили немало чернил, пытаясь одолеть хотя бы одну из задач.
Андрей. Однако с чего вы взяли, Степан, что я не решил ни одной задачи?
Правда, так оно и есть. (Садится).
Степан. Не обижайтесь, дорогой Андрей. Кстати, все эти задачи решаются практически одинаково, если к ним, конечно, правильно подойти. Правда, я не видел еще задач этого конкурса, но. Впрочем, давайте посмотрим.
Задача 1. Точка О находится внутри квадрата АВСВ, причем углы ОСВ и ОВС имеют величину 15 градусов. Докажите, что треугольник ОАД — равносторонний.
Андрей. (разводя руками). По загадочности эта задача напоминает мне дело о похищении персидского шаха. Вы помните, Степан?
Степан. Да что вы, друг мой! Излагаю вам решение прямо сейчас. Воспользуемся здесь «принципом обратного хода». Надеюсь, что из решения вы поймете, в чем он состоит. Рассмотрим точку X, которая является третьей вершиной равностороннего треугольника, две вершины которого — точки А и Д.
Андрей. Но таких точек две.
Степан. Конечно, мы возьмем ту, которая лежит внутри квадрата. Найдем углы ХВС и ХСВ. Ну, Андрей, тут вам как приверженцу точных наук и карты в руки. Сосчитали?
Андрей. Сейчас, сейчас. Надо воспользоваться тем, что ВАХ и ХСД - равнобедренные треугольники. Ба! Да ведь эти углы равны по 15 градусов! Хм, ну и что же.
Степан. Да ведь это означает, что точки О и X совпадают. Это же элементарно друг мой.
Виктор. Потрясающе! Но. во второй задаче этот ваш принцип не поможет.
Слава. Ну так мы применим другой. Итак
Задача 2. В выпуклом четырехугольнике АВСД длины сторон (в порядке их следования по часовой стрелке) равны а, b, с, d. Докажите, что площадь четырехугольника АВСД не превосходит.
Да, эта задача совсем другого типа.
Неравенство. Мне, Виктор, сразу вспоминается шифр профессора Мориарти.
Виктор. (мечтательно). Да, это была хитрая штука. Все-таки он, надо отдать ему должное, был великолепным математиком. Но вы отвлеклись, Слава.
Слава. Это вы замечтались, Виктор. А я за это время решил вашу задачу. Послушайте. Сначала раскроем скобки:
Я сразу подумал о том, нельзя ли упростить это выражение, а вместе с ним и подход к решению задачи. Запомните, Виктор, «принцип упрощения» : сначала нужно перебрать самые простые и естественные пути решения задачи.
Виктор. Но доказывать, что сумма не меньше удвоенной площади четырехугольника, я и сам умею: не меньше удвоенной площади треугольника АВД, а не меньше удвоенной площади треугольника ВСД - вот и все. А что делать с выражением.
Слава. Тут нам поможет «принцип аналогии». Надо только последовательно и логично мыслить, друг мой - это необходимо в математике, как и в криминалистике. За счет чего вам удалась предыдущая оценка? Вам помогло то, что стороны а, d и b, с. находятся рядом, не так ли? Значит, надо сделать так, чтобы рядом оказались а и с.
Виктор. А b и d?
Слава. Ну подумайте сами, Максим, если а и с будут рядом, то b и d, конечно же, также окажутся рядом. Так что всегда нужно проверять, не являются ли какие-то условия лишними. Но это к слову. Итак, что же нужно сделать с нашим четырехугольником, чтобы площадь у него не изменилась, а стороны а и с оказались рядом?. Что же вы, друг мой. А с вами ли ваш скальпель?
Виктор. (не понимая). Нет, не со мной. Зачем он вам. (Смотрит на чертеж и внезапно понимает.) Гениально! В самом деле, надо просто разрезать АВСД по диагонали ВД и. и перевернуть одну из частей. Тогда, конечно, рассуждая так же, как и раньше, получаем, что не меньше удвоенной площади четырехугольника. Складываем это с первым неравенством и получаем то, что и требовалось. Замечательно!
Слава. Заметьте, что тут мы еще использовали «динамический принцип», изменив по ходу решения задачи ее данные. Это вообще замечательный принцип. Он гласит: изменяйте все, что вам угодно, в задаче - формулировку, данные задачи, то, что вам нужно доказать - лишь бы решение новой задачи давало решение старой. Он, в частности, говорит: не воспринимайте данные задачи как нечто застывшее.
Степан. А вот давайте, Андрей, посмотрим на третью задачу конкурса.
Андрей. Только я вас умоляю, Степан, рассказывайте сразу ход ваших мыслей, а не просто решение. Я уже стал удивляться.
Степан. Я постараюсь, друг мой. Итак
Задача 3. Две окружности S1 и S2 пересекаются под прямым углом в точках А и В. Точка X лежит на первой окружности, но внутри второй. Лучи АХ и ВХ пересекают окружность S в точках Р и Q. Докажите, что отрезок РQ является диаметром окружности S2.
Андрей. Условие этой задачи я просто не понял. Что это значит - окружности пересекаются под прямым углом? Бред!
Степан. Да нет же, Андрей, это просто означает, что касательные к ним в точках пересечения перпендикулярны. Так вот, смотрите, как работает здесь «принцип динамики». Давайте подвинем точку X по дуге АВ окружности S1 - она станет точкой X', а лучи АХ' и ВХ' будут пересекать окружность S2 в точках Р' и Q' - посмотрите, я изображу это на листке бумаги.
Очевидно, что углы X'АХ и Х'ВХ равны. Но значит, равны угловые величины дуг РР' и QQ'. А это означает, что угловая величина дуги Р'Q' равна угловой величине дуги РQ.
Андрей. (перебивает Степана). Но как вам пришло в голову доказывать именно это, Степан?
Степан. Но подумайте сами, друг мой, если при любом положении точки X на дуге АВ отрезок РQ - диаметр, то как бы мы ни сдвинули точку X, угловая величина дуги РQ не должна измениться. Если верно то, что требуется доказать в задаче, то, очевидно, должно быть верно и это. Опять «принцип обратного хода».
А теперь, Андрей, давайте так двигать нашу точку X до самой точки В. Что мы получим? Угловая величина дуги РQ в этом случае как раз будет равна 180 градусам.
Андрей. Это почему же? Ах, да. мы пользуемся тем, что эти окружности пересекаются под прямым углом. Вот, кстати, Степан, еще один принцип : надо использовать все данные задачи и все время помнить о том, что они должны быть как-то использованы! Как бы его назвать?
Степан. (невозмутимо). Я называю его «принципом полноты решения».
Андрей. Ну знаете! Можно подумать, что у вас в каждом кармане по принципу!
Степан. Нет, дорогой друг, они у меня все в голове. Однако, друг мой, для решения задачи требуется все-таки и еще кое-что, кроме набора стандартных правил размышления. Еще нужны и такие вещи, как опыт и интуиция. Неужели вы думаете, что все так просто - надо только выучить много «принципов» и научиться применять их в какой-то последовательности? К счастью, человеческое мышление есть нечто неизмеримо большее. хотя, конечно, и эти принципы, которые по сути своей есть не что иное, как штампы мысли, могут принести реальную пользу. Ничем рациональным пренебрегать нельзя!
Ведущий: Я надеюсь вы были внимательными и без труда сможете назвать принципы решения многих задач и в чем они заключаются: …
Принцип обратного хода - решение с конца
Принцип упрощения - сначала нужно перебрать самые простые и естественные пути
решения задачи.
Принцип аналогии - аналогичные рассуждения.
Принцип динамики - изменение по ходу решения задачи ее данных.
Принцип полноты решения - надо использовать все данные задачи и все время помнить о том, что они должны быть как-то использованы.
Ведущий: А теперь мы предлагаем Вам эти принципы использовать при решении конкретных задач.
(Командам выдаются тексты задач. В течении 7 мин необходимо решить ее с указанием принципа ее решения. Участники математического клуба могут быть консультантами. В конце, можно предложить командам выступить с защитой своего принципа. Подвести итоги защиты.)
