Юлия Мехонцева
Математические понятия, предложения и доказательства
▼ Скачать + Заказать документы
ТЕМА 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ, ПРЕДЛОЖЕНИЯ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
1.,2. Понятий в начальном курсе математики изучается много. Как же их определяют?
Неявные определения : контекстуальные и остенсивные.
В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации.
Публикация «Математические понятия, предложения и доказательства» размещена в разделах
Пример – определение уравнения в традиционном курсе математики : равенство, содержащее букву (буквы, значение которой (которых) надо найти.
Понятие уравнение соединяет в себе класс всевозможных уравнений (равенств) - объем понятия и характеристическое свойство равенства, содержащее одну или несколько переменных – содержание.
Остенсивные определения – это определения путем показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают.
Например, таким образом вводятся понятия равенства и неравенства в начальном курсе математики.
Каждое понятие объединяет в себе класс объектов (вещей, отношений). Это объем понятия и характеристическое свойство присуще всем объектам этого класса только им.
Например, понятие треугольник содержит в себе класс всевозможных треугольников, это объем понятия и характеристические свойства, наличие трех сторон, трех вершин, трех углов – содержание понятия.
Явные определения встречаются особенно часто в геометрии - это определения через ближайший род и видовое отличие.
Например, прямоугольником называется параллелограмм с прямыми углами. Прямоугольник определяемое понятие, параллелограмм ближайший род – определяющее понятие. Прямой угол видовое отличие.
5. Высказывания и высказывательные формы
Относительно понятий и отношений между ними можно высказывать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Например, в начальном курсе математики можно встретить такие предложения :
1) число 12 – четное;
2) 2 + 5 > 8;
3) х + 5 = 8;
4) В числе 15 один десяток и 5 единиц;
5) От перестановки множителей произведение не изменяется;
6) Некоторые числа делятся на 3.
Видим, что предложения, используя в математике, могут быть записаны как на естественном (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов. Далее, о предложениях 1, 4, 5 и 6 можно сказать, что они несут верную информацию, а предложение 2 – ложную. Относительно предложения х + 5 = 8 вообще нельзя сказать: истинное оно или ложное. Взгляд на предложение с позиции – истину или ложь оно нам сообщает – привел к понятию высказывания.
Определение. Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.
Например, предложения 1, 2, 4, 5 и 6 – высказывания, причем предложения 1, 4, 5 и 6 – истинные, а 2 – ложное.
Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,, Z. Если высказывание А истинно, то записывают: А – «и», если же высказывание А – ложно, то пишут: А – «л».
«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно тем и другим оно не может.
Предложение х + 5 = 8 не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать: истинно оно или ложно. Однако при подстановке конкретных значений переменной х оно обращается в высказывание: истинное или ложное. Предложение х + 5 = 8 называется высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.
Среди всех возможных значений переменной нас в первую очередь интересуют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений переменных называют множеством истинности высказывательной формы.
Например, множеством истинности высказывательной формы х > 5, заданной на множестве действительных чисел, будет промежуток (5;). Множество истинности высказывательной формы х + 5 = 8, заданной на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 3.
4. Предложения, которые мы рассматривали, были простыми, но можно привести примеры суждений, языковой формой которых будут сложные предложения.
Например: «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании в нем равны».
В логике считают, что из двух данных предложений можно образовать новые предложения, используя для этого союзы «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда, когда», а также частица «не» или словосочетание «неверно, что». Слова «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда, когда», а также частица «не» называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными. Предложения, не являющиеся составными, называют элементарными.
Приведем примеры составных предложений.
1) Число 28 четное и делится на 7.
2) Число х меньше или равно 8.
3) Число 14 не делится на 4.
Эти предложения, являясь с логической точки зрения составными, по своей грамматической структуре – простые.
Как определить значение истинности составного высказывания, например, «число 28 делится на 7 и на 9»? Значение истинности высказываний определяется с помощью определенных правил. Но для этого нужно уметь выявлять логическую структуру высказывания.
Нужно установить:
1) из каких элементарных предложений образовано данное составное предложение;
2) с помощью каких логических связок оно образовано.
Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 и на 9», которое, как было установлено раньше, состоит из двух элементарных высказываний, соединенных союзом «и», т. е. является конъюнкцией. Так как первое высказывание истинно, а второе ложно, то, согласно определению конъюнкции, высказывание «число 28 делится на 7 и на 9» будет ложным.
