Юлдашева Саодат
Анализ простейших правил раскрытия неопределенностей на уроках математики в 10 классе
Анализ простейших правил раскрытия неопределенностей.
Значительное место в школьном курсе математики занимают элементы математического анализа, в том числе и пределы функций с раскрытием неопределенностей. Целью изучения в школьной программе этой темы является формирование интеллектуального развития учащихся, формирование качеств мышления, необходимых человеку для свободной ориентации в современном мире; овладение математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования. Но как показывает опыт преподавания учителей в школе, вычисление пределов вызывает большие затруднения у школьников по сравнению с другими темами. В разделе «Предел функции и непрерывность» заметен высокий уровень научности и строгости понятий предела и непрерывности функции. Раскрытие неопределенностей – методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые теряют смысл в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента, то есть переходят в выражения / ; 0/0; - ; 0 ; 0^0; ^0; 1^.
Публикация «Анализ простейших правил раскрытия неопределенностей на уроках математики в 10 классе» размещена в разделах
- Анализ работы, отчеты, из опыта работы
- Анализ. Аналитический отчет, справка
- Математика. Конспекты уроков
- Старшая школа 10 класс
- Старшая школа. 10-11 класс
- Темочки
Вопрос решения пределов является достаточно обширным и является объектом интереса современных направлений математики. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить данный предел. Объектом нашего исследования правила раскрытия неопределенностей и правила Лопиталя. Можно привести огромный список литературы, в которой изучаются пределы, способы их вычислений. Вместе с тем, при изучении нами различных публикаций по данной тематике выявлена относительная недостаточность данных в курсе школьной математики. В основном материалы представлены для изучения в высших учебных заведениях. В курсе же 10 класса отводится всего лишь 10 часов на раздел. Поэтому предлагаю методические рекомендации по методике раскрытия неопределенностей
/ ; 0/0; - ; 0 ; 0^0; ^0; 1^
при вычислении пределов функции.
Предел функции
Вспомним определения:
Число L называется пределом функции f(x) при x a, если для любого сколь угодно малого числа >0, найдется число N такое, что |f(x)-L|< при 0<|x-a|<. Символически записывают так: lim (x a) f(x)=L
Число L называется пределом функции f(x) при x +, если для любого сколь угодно малого числа >0, найдется такое число >0, что для любого x>N выполняется неравенство |f(x)-L|<. Пишут: lim (x +) f(x)=L
Отыскание предела функции по определению – это довольно трудоемкий процесс. Поэтому на практике удобнее пользоваться следующими теоремами о пределах.
Теорема. Если функции f(x) и (x) имеют пределы при x a
lim (x a) f(x)=A, lim (x a) (x)=B, то существует
предел суммы этих функций, причем lim (x a) (f(x)+ (х)=A +B=lim (x a) f(x)+ lim (x a) (x)
предел произведения этих функций, причем lim (x a) (f(x) (х)=A B=lim (x a) f(x) lim (x a) (x)
предел их отношения lim (x a) f(x)/( (х)=A/B =lim (x a) f(x)/lim (x a) (x) (B 0)
постоянный множитель можно выносить за знак предела: lim (x a) (C f(x)= C lim (x a) (x)
Некоторые методы и приемы вычисления пределов.
Пример 1. Найти предел: lim (x 2) (5x^2-3x+4)=5 2^2-3 2+4=18
Пример 2. Найти предел: lim (x 3) (x^2-5x+2)/(x^2+4)=(3^2-5 3+2)/(3^2+4) =-4/13
Пример 3. Найти предел: lim (x 5) (x-5)/(x^2+4x-1)= 0/44=0
Пример 4. Найти предел: lim (x -4) (x^2+2)/(x^2+5x+4)=18/0 =
Раскрытие неопределенностей
Нужно иметь в виду, что знак - это только символ для обозначения бесконечно большой величины. Он не обладает свойствами числа и в арифметических действиях не участвует. Вследствие этого возникают различного рода неопределённости. Основные виды неопределенностей :
±, /, 0/0, 0, ^0, 0 ^0, 1^ .
Вычисление пределов в этих случаях называют «раскрытием неопределенности». Вышеуказанные теоремы для бесконечных пределов неверны. Для вычисления предела – «раскрытие неопределенностей», предварительно преобразовывают выражения.
Пример 1. Найти предел: lim (x) (3x ^2-5x+2)/(x^2+4х+8)
Решение. Теорему о пределе частного применять нельзя, так как числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. Имеем неопределенность вида /. Для избавления от неопределенности вынесем за скобки в числителе и знаменателе дроби переменную в старшей степени:
lim (x) (3x ^2-5x+2)/(x^2+4х+8)=( /)=lim (x) (x^2 (3-5/x+2/x^2)/(x^2 (1+4/x+8/x^2))=3/1 =3
Пример 2. Найти предел: lim (x 0) ((2x+1)-1)/x
Решение. Числитель и знаменатель дроби при х 0 стремятся к нулю, следовательно, имеем неопределенность вида 0/0. Для того, чтобы вычислить предел, перенесем иррациональность в знаменатель, умножив для этого числитель и знаменатель дроби на (2x+1)+1. Тогда
lim (x 0) ((2x+1)-1)/x =lim (x 0) ((2x+1)-1( (2x+1)+1)/x( (2x+1)+1) =lim (x 0) (2x+1-1)/x( (2x+1)+1) =lim (x 0) 2/( (2x+1)+1))=1
Пример 3. Найти предел: lim (x 1) (x-1)/( x-1)
Решение. Неопределенность 0/0 здесь можно раскрыть, сделав замену переменной x=t^6, тогда x=t^3, x=t^2,x 1,z 1
lim (x 1) (x-1)/( x-1)= lim (z 1) (t^3-1)/(t^2-1)=lim (z 1) (t-1(t^2+t+1)/(t-1(t+1) =lim (z 1) (t^2+t+1)/(t+1))=3/2
Пример 4. Найти предел: lim (x 3) (x^2-5x+6)/(3x^2-10x+3)
Решение. При вычислении данного предела применять теорему о пределе частного нельзя, так и числитель, и знаменатель равны 0. Воспользуемся разложением многочленов числителя и знаменателя на множители по формуле aх^2+bx+c=a(x-x_1) (x-x_2, где x_1 ,x_2 - корни квадратного трехчлена
aх^2+bx+c. Тогда
lim (x 3) (x^2-5x+6)/(3x^2-10x+3) = lim (x 3) (x-2(x-3)/(x-3(3x-1) =lim (x 3) (x-2)/(3x-1) =1/8
Замечательные пределы.
Пределы функций, в которых участвуют тригонометрические выражения, обычно сводятся к первому замечательному пределу
lim (x 0) sinx/x =1
Также используют несколько его следствий:
lim (x 0) x/sinx =1, lim (x 0) tgx/x =1, lim (x 0) x/tgx =1, lim (x 0) arcsin x/x =1, lim (x 0) arctg x/x =1
Пример 5. Найти предел: lim (x 0) 2sin2x/5x
Решение. Для избавления неопределенности 0/0 воспользуемся первым замечательным пределом
lim (x 0) 2sin2x/5x =lim (x 0) (2 2sin2x)/(2 5x) =lim (x 0) (4/5 sin2x/2x)=4/5
Пример 6. Найти предел: lim (x 0) arcsin3x/tg7x
Решение. Произведя следующие преобразования, имеем
lim (x 0) arcsin3x/tg7x =lim (x 0) (21x arcsin3x)/(21x tg7x) =lim (x 0) (3/7 arcsin3x/3x 7x/tg7x)=3/7 1 1=3/7
Пример 7. Найти предел: lim (x 0) (1-cosx)/(3x^2)
Решение. Так как 1-cosx=2 sin ^2 x/2, то
lim (x 0) (1-cosx)/(3x^2) =lim (x 0) (2 sin ^2 x/2)/(3x^2) =lim (x 0) (2 sin ^2 x/2)/(4 3 x^2/4) =1/6 lim (x 0) (sin x/2)/(x/2)^2=1/6 1^2=1/6
Пример 8. Найти предел: lim (x 2) (x-1)/(x-2)-4/(x^2-4)
Решение. В этом примере получаем неопределенность вида -. Приведем выражение под знаком предела к общему знаменателю.
lim (x 2) (x-1)/(x-2)-4/(x^2-4)=lim (x 2) (x^2+x-6)/(x^2-4)=lim (x 2) (x+3(x-2)/(x-2(x+2) =lim (x 2) (x+3)/(x+2) =5/4
Пример 9. Найти предел: lim (x 1) (1-x)tg x/2
Решение. Неопределенность вида 0 сведем к неопределенности 0/0, тогда
lim (x 1) (1-x)tg x/2 =(0)=lim (x 1) (1-x)/(ctg x/2)=(0/0)
Сделаем замену переменных z=1-x, тогда z 0,ctg x/2=ctg ((1-z)/2=tg z/2 и
lim (x 1) (1-x)/(ctg x/2)= lim (z 0) z/(tg z/2)=lim (z 0) (z/2 2/)/(tg z/2) =2/ lim (z 0) (z/2)/(tg z/2) =2/ 1=2/
Заключение.
Таким образом, в процессе раскрытия неопределенностей можно выделить следующие основные этапы:
подготовка выражения под знаком предела к устранению неопределенности путем применения преобразований;
переход (в случае необходимости) к неопределенности 0/0 или / – переход от одной функции к другой.
Литература:
Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А., Алгебра и начала анализа : Учебник для 10 класса ЕМН, Алматы: Мектеп, 2019;
Темиргалиев Н., Введение в математический анализ, Астана, 2015;
Круглов Е. В., Мамаева Н. А., Таланова Е. А., Некоторые приемы вычисления пределов Нижний Новгород, 2018;
Матвеева Т. А., Рыжкова Н. Г., Математический анализ, Екатеринбург, 2017;
Самочернова Л. И., Высшая математика, Томск, 2005;
Альпин Т. Ю., Егоров А. И., Кашаргин П. Е., Сушков С. В., Практические занятия по математическому анализу, Казань, 2013.
