Амир Фаткуллин
Математическая сказка «Сказка о звездном бале»
Сказка о звездном бале
В некотором царстве, некотором государстве очень любили устраивать балы в разные праздники. А уж на новый год вместо снежинок придумали сделать много красивых звездочек и украсить ими бальный зал. Чтобы было красиво, придумали сделать неодинаковые звездочки из блестящей бумаги, но для оригинальности звездочки должны быть одинаковой площади. Сначала думали, что вырежем одну звездочку, а другие получим, вырезая по контуру этой одной звездочки. Но тогда получаются одинаковые звездочки. Потом думали, что попробуем подобрать по клеточкам такой же площади другие звездочки. Но это было очень утомительно и непродуктивно. И тогда обратились к мудрому визирю, который много наук знал, в том числе и геометрию. Задача была нова для него, и никто еще этой задачи не решал. Но визирь блестяще решил эту задачу и с его помощью сделали много звездочек.
Публикация «Математическая сказка „Сказка о звездном бале“» размещена в разделах
Визирь нарисовал много треугольников с одинаковым основанием и одинаковой высотой. Из каждой вершины треугольника проведены 2 чевианы. Да, так называются отрезки, исходящие из вершины треугольника до пересечения со стороной треугольника. Как вы знаете в треугольнике из вершины можно провести высоту, то есть перпендикуляр к противоположной стороне, биссектрису, делящую угол при вершине пополам, медиану, делящую противоположную сторону пополам. Так вот – все эти отрезки относятся к чевианам. А как известно, площади этих треугольников равны по формуле произведения половины основания на высоту. Если смещать вершину треугольника параллельно неподвижному основанию, то площади новых треугольников будут равновелики и равны площади исходного треугольника. При этом соотношения отрезков, отсекаемых чевианами на сторонах треугольника, не меняются. То есть если стороны исходного треугольника разделены на три части, то и площади других равновеликих треугольников так же будут разделены на 3 части. Если исходный треугольник будет равносторонним, то даже из рисунка видно, что все три звездочки в нем будут равновелики. Все звездочки получились одинаковой площади. Когда эти блестящие, мерцающие под огнем 1000 свечей, звездочки были подвешены вверху, то на фоне синего купола как будто открылось звездное небо. Было очень красиво!
А вы догадались почему площади звездочек одинаковы?
