Юлия Мехонцева
Множества и операции над ними для старших школьников
ТЕМА 1
1. Понятие множества является одним из основных понятий математики. Оно не имеет точного определения и, как правило, объясняется с помощью примеров.
Дадим следующее интуитивное определение понятия множества :
Множество – определенная совокупность объектов.
Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.
ПРИМЕР
Публикация «Множества и операции над ними для старших школьников» размещена в разделах
Множество домов на данной улице, множество натуральных чисел, множество студентов группы и т. д.
Множества обычно обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, D, X, Y, элементы множества строчными латинскими буквами – a, b,c, d, x, y…
Для обозначения того, что объект x является элементом множества A, используют символику: x А ( читается: x принадлежит А, запись x А обозначает, что объект x не является элементом множества A ( читается: x не принадлежит А).
Множество не содержащее ни одного элемента называется пустым ( обозначается:).
Множества из элементов которого составляем конкретное множество называется универсальным ( обозначается: U).
ПРИМЕР
U – множество людей на земле, А – студенты группы Эп-305.
Множества можно изображать с помощью кругов, которые называются кругами Эйлера или диаграммами Венна, универсальное множество принято обозначать прямоугольником.
ПРИМЕР
2.
Множество Название множества 3 элемента множеств
N Натуральные числа 1,2,3
Z Целые числа -5,-3,0
Q Рациональные числа 0,5;-7,2;17
R Действительные числа
3.4. Способы задания множеств
Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать различными способами:
1) Перечислением всех элементов множества в фигурных скобках.
ПРИМЕР
A = Оля, Маша, Саша
N = 1,2,3,4….
2)Характеристическим предикатом, который описывает свойство всех элементов, входящих в множество. Характеристический предикат записывается после двоеточия или символа «|».
ПРИМЕР
Р(x) = x N x < 8 - характеристический предикат.
M = x : Р(x) или M = x : x N x < 8 .
Множество M можно задать и перечислением его элементов:
M = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
ПРИМЕР
В = x | x - четное натуральное число = 2, 4, 6, 8, …
Если множество состоит из небольшого количества элементов, то его удобно задавать перечислением всех элементов, если же элементов много или множество имеет бесконечное число элементов, то оно задается с помощью характеристического предиката.
Из курса школы известны следующие числовые множества :
N – множество натуральных чисел,
N = 1, 2, 3, 4… ;
Z – множество целых чисел,
Z =, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4… ;
Q – множество рациональных чисел,
R или (– ;) – множество действительных (вещественных) чисел;
I – множество иррациональных чисел,
Известны также следующие обозначения:
интервал
полуинтервал
полуинтервал
отрезок
5.6.7. В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними. Например, нам известно, что все натуральные числа являются целыми. Понятие множества позволяет обобщить конкретные случаи взаимосвязи между различными совокупностями, позволяет посмотреть на них с единой точки зрения.
Если множества А и В имеют общие элементы, т. е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.
Например, если А = a, b, c, d, e, В = b, d, k, m, С = х, у, z, то можно утверждать, что множества А и В пересекаются, а множества А и С, В и С не пересекаются.
Рассмотрим множества А = a, b, c, d, e и В = с, d, е. Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включается в множество А или что множество В является подмножеством А и пишут : ВА.
Определение: Множество В является подмножеством А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.
Верно: А и А А. В этом случае множества и А называют несобственными.
Образуем, например, все подмножества множества А = 2, 3, 4. Среди них будут одноэлементные подмножества : 2, 3, 4, двухэлементные 2, 3, 2, 4, 3, 4, а также само множество А и пустое множество. Таким образом, данной трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.
Доказано, что если множество содержит n элементов, то у него 2 различных подмножеств.
Если рассматриваются подмножества одного и того же множества U, то в этом случае U называют универсальным. Так множество четырехугольников универсально для множества ромбов, квадратов, трапеций, прямоугольников, параллелограммов.
Определение. Множества А и В называются равными, если АВ и ВА.
Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что порядок записи элементов множества не существен.
Отношения между множествами наглядно представляют при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. Возможны следующие отношения между двумя множествами
а) б) в) г) д)
Пересекаются - а); ВА - б, АВ - в, А = В - г, А и В не пересекаются
Понятие подмножества является обобщением понятия части и целого, которые осваивают младшие школьники, выполняя разные задания. Например: «Назови среди данных чисел четные», «Среди данных четырехугольников найди прямоугольники».
8. Понятие разбиения множества на классы
Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить представление о классификации.
Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств внутри класса и их отличия от других объектов. Классификация широко применяется в математике.
Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы бывают острые, тупые и прямые и т. д.
Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.
Считают, что множество Х разбито на классы Х, Х, Х, если:
1) подмножества Х, Х, Х попарно не пересекаются;
2) объединение этих подмножеств совпадает с множеством Х.
Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают неправильной.
Например: а) Множество треугольников Х разбито на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х; b) Из множества треугольников Х выделили подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников. Так как множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиения множества Х на классы мы не получили.
Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.
9. Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Нас интересуют числа со свойством «быть кратным 8». Это свойство позволяет выделить из множества N подмножество, состоящее из чисел, кратных 8. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 8, т. е. получаем еще одно подмножество множества N. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N, то имеем разбиение данного множества на два класса.
