Демидович Федор
Подсчет углов через дуги в олимпиадных задачах по геометрии. Подборка типовых задач
Центральный угол — это угол, образованный двумя радиусами. Длина дуги, описываемой концом радиуса, пропорциональна величине соответствующего центрального угла. Центральный угол дуги измеряется градусами. Для измерения градусами - целая окружность имеет 360°. Половина окружности 180°.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а лучи пересекают ее. Величина писанного угла равна половине дуги, на которую он опирается. Величины всех вписанных углов, опирающихся на данную дугу, равны.
Длина дуги пропорциональна ее радиусу и величине центрального угла.
Публикация «Подсчет углов через дуги в олимпиадных задачах по геометрии, Подборка типовых задач» размещена в разделах
1. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB1 и CC1. Известно, что центр описанной окружности треугольника BB1C1 лежит на прямой AC. Найдите угол C треугольника.
2. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках М и N так, что АВ – биссектриса треугольника МАN. Докажите, что отношение отрезков ВМ и BN равно отношению радиусов окружностей.
3. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c. Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.
4. Дан прямоугольный треугольник ABC. На продолжении гипотенузы BC выбрана точка D так, что прямая AD является касательной к описанной окружности треугольника ABC. Прямая AC пересекает описанную окружность треугольника ABD в точке E. Оказалось, что биссектриса угла ADE касается окружности. В каком отношении точка C делит отрезок AE?
5. Прямые, касающиеся окружности в точках B и D, пересекаются в точке P. Прямая, проходящая через P, высекает на окружности хорду AC. Через точку отрезка AC проведена прямая, параллельная BD. Докажите, что она делит длины ломаных ABC и ADC в одинаковых отношениях.
6. Дан остроугольный треугольник ABC. На продолжениях BB1 и CC1 его высот за точки B1 и C1 выбраны соответственно точки P и Q так, что угол PAQ – прямой. Пусть AF – высота треугольника APQ. Докажите, что угол BFC – прямой.
7. На дугах AB и BC окружности, описанной около треугольника ABC, выбраны соответственно точки K и L так, что прямые KL и AC параллельны. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABK и CBL равноудалены от середины дуги ABC.
8. Окружности 1 и 2 пересекаются в точках A и B. Точки K1 и K2 на 1 и 2 соответственно таковы, что K1A касается 2, а K2A касается 1. Описанная окружность треугольника K1BK2 пересекает вторично прямые AK1 и AK2 в точках L1 и L2 соответственно. Докажите, что точки L1 и L2 равноудалены от прямой AB.
9. Треугольник ABC вписан в окружность. Через точку A проведены хорды, пересекающие сторону BC в точках K и L и дугу BC в точках M и N. Докажите, что если вокруг четырёхугольника KLNM можно описать окружность, то треугольник ABC – равнобедренный.
10. Найдите углы треугольника ABC, если биссектриса угла А делит его на два равнобедренных треугольника.
11. Центры трех попарно касающихся друг друга внешним образом окружностей расположены в точках A, B и C. Угол ABC равен 90 градусам. Точки касания окружностей - K, P и M, причем P расположена на отрезке AC. Найдите угол MPK.
12. В окружности с центром в точке O проведен диаметр. A и B – точки окружности, расположенные по одну сторону от этого диаметра. На диаметре взята точка M такая, что AM и BM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что углы AOB и AMB равны.
13.. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали BE и AD пересекаются в точке T, прямые, содержащие BD и AE – в точке F. Известно, что угол DEB равен 67 градусам, угол BTD равен 113 градусам, угол CBE равен 57 градусам, а угол BFA равен 15 градусам. Чему могут быть равны углы пятиугольника?
14. Постройте циркулем и линейкой геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
15. Докажите, что если точки A, B, M и K таковы, что M и K лежат по одну сторону от прямой AB, то условие «угол AMB равен углу AKB» равносильно условию «эти четыре точки лежат на одной окружности».
16. Четыре точки A, B, C и D одной окружности. Точку B отразили относительно прямой AC, получили точку C’. Оказалось, что точки A, B, C’ и D также лежат на одной окружности. Один из углов четырехугольника ABCD равен 70 градусам. Найдите все остальные.
17. Дана окружность с центром в точке O и точка A вне ее. Постройте касательную к этой окружности, проходящую через точку A.
18. Докажите, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность.
19. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и катетами a, b радиус вписанной окружности r=0,5(a+b–c).
20. Точки касания вписанной окружности соединены отрезками с противоположными вершинами треугольника. Докажите, что эти три отрезка перескаются в одной точке.
